Octubre

Geometría Analítica en el Espacio

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.

Planos Coordenados

XOY-> eje x ^ eje y

YOZ-> eje y ^ eje z

XOZ-> eje x ^ eje z

P(x,y,z) Coordenadas

=(x,y,z) Componentes

Función Implícita de 2 variables

X= variable dependiente

Y= variable independiente

En forma implícita geométricamente representa una curva en el plano

F(x,y)=0

G(x,y)=0   Sistema de funciones implícitas (Genera intersección de curvas o uno o más puntos

La función implícita genera una curva en y su intersección genera 1 o más puntos

Funciones Implícitas en el Espacio

F(x,y,z)=0 ----> Función Implícita de 3 variables

F(x,y)=0    ----> Representa una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje z

F(x,z)=0    ----> Representa una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje y

F(y,z)=0 Representa una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje x

Intersección de 2 superficies cilíndricas

• Generan curvas

F(x,y,z)=0

G(x,y,z)=0

H(x,y,z)=0 Geométricamente representa la intersección de 3 superficies y se genera puntos

La Recta en

Ecuación Vectorial de la Recta

Si

Se conocen como las ecuaciones paramétricas de la recta

A estas ecuaciones se las denomina Ecuaciones cartesianas o canónicas de la Recta

NOTA:

• La recta es un caso particular de una Curva Alabeada
• La recta se puede proyectar sobre cualquiera de los planos coordenados

Ecuaciones de la Recta dados dos puntos

Distancia de un punto a una recta

El plano en

Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.

Para que el punto P pertenezca al plano n el vector tiene que ser coplanario con

Ecuaciones incompletas del plano

1. Si C=0 Ax+By+D=0     Generatriz paralela al eje z

n=(A,B,O)

Tiene pendiente y no pasa por el origen

2. Si C=0 ^ D=0 Ax+By=0

n=(A,B,O)

Pasa por el Origen

3. Si B=0 ^ C=0 ^ D0

Plano paralelo al plano YOZ

Ecuaciones Segmentaria del plano

a=-D/A

b=-D/B

c=-D/C

Ecuación Normal del Plano

Ecuación Normal del plano

Plano determinado por 3 puntos

PRODUCTO MIXTO

Esta es la Ecuación vectorial del plano dados 3 puntos

Observaciones:

1. Si el producto mixto es igual a cero, entonces los 3 vectores son COPLANARES
2. Geométricamnete el producto mixto representa el VOLUMEN DEL PARALELEPIPEDO, cuyas aristas son los 3 vectores

Producto Mixtoentre vectores coplanares

Distancia de un punto a un plano

Para hallar distancia desde M1 al plano dado como dato la ecuación general

Recta determinada por dos planos

Ecuación Vectorial de la esfera

Superficies Cilíndricas

Las superficies cilíndricas son superficies generadas por una recta, cuando se desplaza a través de una curva plana, manteniéndose siempre paralela a sí misma. A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la curva, directriz. La ecuación de una superficie cilíndrica de directriz G y generatriz d (paralela a u → (u1, u2, u3) y que corta a la directriz en P0(x0, y0, z0)) se obtiene reemplazando en la ecuación de la curva directriz las coordenadas de P0, despejadas de la ecuación de d. Entonces, si las ecuaciones de G y d son: despejando las coordenadas de P0 y reemplazándolas en la ecuación de G se obtiene: Eliminando t de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la superficie cilíndrica.

Ejemplos:

z = x^2

Superficies Cuadráticas

Son superficies que tienen por ecuación:

Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0

Dependiendo de los valores de los coeficientes generamos: esferas, elipsoides, hiperboloides...etc.
Algunos ejemplos bastantes relevantes son:

ANÁLISIS GRÁFICO DE LAS SUPERFICIES  

1. Intersección con los ejes coordenados

   i) Con el eje OX

  ii) Con el eje OY

  iii) Con el eje OZ

2. Intersección con los planos coordenados

   i) Con el plano XOY

  ii) Con el plano XOZ

  iii) Con el plano YOZ

3. Intersección con los planos perpendiculares a los planos coordenados

   i) Con los planos perpendiculares al plano XOY

  ii) Con los planos perpendiculares al plano XOZ

  iii) Con los planos perpendiculares al plano YOZ

4. Representación Gráfica

Funciones Vectoriales

Dominio de una Función

Límite de una Función

Continuidad

OPERACIONES: 

Suma:  (f+g)(t) = [ f1(t) + g1(t)]; [f2(t) + g2(t)];........; [fn(t) + gn(t)]

Producto de una función por un escalar: a.f(t) = a.f1(t); af2(t);........; a.fn(t)

Producto de funciones : < f(t)/g(t) > = f1(t).g1(t) + f2(t).g2(t) + ......... + fn(t).gn(t)

El modulo del vector es igual a la raíz cuadrada de cada uno de sus componentes elevados al cuadrado

Composición de funciones: (foh)(t) ssi f es función vectorial y g es función real

Derivadas

Integrales

Triedro Móvil

LONGITUD DE CURVA Y ARCO

Longitud de Arco Curva Plana

Longitud de Arco Curva en 3D

Forma General

Función de la Longitud de Arco